Question

【题目】将函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再将图象向右平移 个单位长度得到函数y=sinx的图象．
（1）直接写出f（x）的表达式，并求出f（x）在[0，π]上的值域；
（2）求出f（x）在[0，π]上的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得，把函数y=sinx的图象向左平移 个单位长度得到y=sin（x+ ）的图象，

再把横坐标缩短为原来的2倍，可得y=sin（ x+ ）=cos[ ﹣（ x+ ）]=cos（ x﹣ ）的图象，

∴ ．

∵0≤x≤π，∴ ，∴ ，∴ ，

当x=0时， ；当 时，f（x）=1

（2）解：令 ，k∈Z，解得 ，k∈Z，

所以单调递增区间为 ，k∈Z；

同理单调递减区间为 ，k∈Z，

∵x∈[0，π]，∴f（x）的单调递增区间为 ，单调递减区间为

【解析】（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，得出结论．（2）根据f（x）的解析式，以及正弦函数的单调性，得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．