Question

【题目】如图，在直三棱柱中， 分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．

（1）当为线段的中点时，

①求证：；②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；（2）.

【解析】

（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

由向量法证明线线垂直和计算二面角。（2）设（），设直线与平面所成的角为由向量坐标法求得

设设由导数法求得范围。

以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则 ，.

因为分别是棱的中点，所以

（1）当为线段的中点时，则

①因为 所以即

②因为设平面的一个法向量为

由 可得，取，则所以

又因为是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的二面角的平面角为，

则 .因为为锐角，所以

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为

（2）因为在线段上，所以设（），解得，

所以.

因为设平面的一个法向量为

由可得，取则所以

设直线与平面所成的角为

则

因为所以设则

所以，设

则，设可求得的取值范围为，

进一步可求得的取值范围为

所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为.