Question

【题目】已知函数，（为自然对数的底数）.

（1）讨论函数在定义域内极值点的个数；

（2）设直线为函数的图象上一点处的切线，证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数无极值点，当时，函数有两个极值点（2）证明见解析

【解析】

（1）对函数求导得，令，分类讨论有无零点以及零点与、的相对位置即可得解；

（2）由题意可得切线的方程可表示为，设直线与曲线相切于点，由题意可得，进而可得，由（1）中结论即可证明在上存在唯一的根，即可得证.

（1）由题意且，

则，

令，，

①当即时，，

此时，在和单调递增，无极值点；

②当时，即当或时，

函数有两个零点，

，，

（i）当时，

因为，

所以，

所以函数在单调递增，在和上单调递减，在上单调递增，此时函数有两个极值点；

（ii）当时，因为，

所以，此时，在和单调递增，无极值点.

综上所述，当时，函数无极值点，当时，函数有两个极值点.

（2）证明：因为，所以切线的方程可表示为，

设直线与曲线相切于点，

因为，所以，

消去并整理得，

由（1）可知，当时，函数在单调递增，

又，.

所以函数在上有唯一的零点，

又因为在单调递增，

所以方程在上存在唯一的根，

故在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切.