Question

【题目】椭圆，右焦点为，是斜率为的弦，的中点为，的垂直平分线交椭圆于，两点，的中点为.当时，直线的斜率为（为坐标原点）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设原点到直线的距离为，求的取值范围；

（3）若直线，直线的斜率满足，判断并证明是否为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，证明过程见解析.

【解析】

（1）先设，，根据题意，得到，两式作差，根据弦中点的坐标，由题意，求出，再根据焦点坐标，得到，两式联立，即可求出结果；

（2）先设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，，

根据韦达定理，求出，得到的方程为：，与椭圆方程联立，设，，

求出，表示出，根据点到直线距离公式，表示出，进而可根据换元法求取值范围；

（3）根据（2）的结果，由，求出，再由弦长公式，分别求出与，进而可得出结果.

（1）设，，

由题意，，两式作差，得，

整理得：，

又是斜率为的弦，的中点为，当时，直线的斜率为，

所以，即，即①，

又椭圆右焦点为，所以②，

由①②解得：，，

因此，椭圆的标准方程为；

（2）设直线的方程为：，

由消去得，，

设，，

则，所以，

故，

因为是的垂直平分线，所以的方程为：，

即，

由消去得，，

设，，

则，

所以，

即的中点的坐标为，

因此

，

又原点到直线的距离，

所以，

令，则；

（3）由（2）可得：，

所以，

因为直线，直线的斜率满足，

所以，整理得：，所以，

所以，

，

因此.

即取定值.