题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1、 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求a₃、a₄，猜想a_n的表达式，并加以证明；
（Ⅱ）设 $数学公式$ ，求证：对任意的自然数n∈N^*，都有 $数学公式$ ．

（Ⅰ）解：（1）∵a₁=1、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
∴a₃= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故可以猜想 $\text{[math]}$ ，下面利用数学归纳法加以证明：
（i）显然当n=1，2，3，4时，结论成立，
（ii）假设当n=k（k≥4），结论也成立，即 $\text{[math]}$
那么当n=k+1时，由题设与归纳假设可知： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即当n=k+1时，结论也成立，
综上， $\text{[math]}$ 成立．
（Ⅱ）证明： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以只需要证明 $\text{[math]}$
只需证明 $\text{[math]}$
只需证明：3n+1＜3n+2 $\text{[math]}$ +1
只需证明0＜2 $\text{[math]}$ ，显然成立
所以对任意的自然数n∈N^*，都有 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用数列递推式，代入计算可得a₃、a₄，由此猜想a_n的表达式，再利用数学归纳法进行证明，证明n=k+1时，由题设与归纳假设，可得结论；
（Ⅱ）先对通项化简，再用裂项法求和，进而利用分析法进行证明即可．
点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的猜想与证明，考查数列的求和与分析法证明的运用，属于中档题．