Question

已知点A、B、C是椭圆M：上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆M的中心，且，．
（I）求椭圆M的方程；
（II）过点且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆M交于两点E、F，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据点A的坐标为，可知A是长轴端点，利用且BC过椭圆M的中心，可确定C点坐标代入方程，即可求得椭圆方程；
（II）设直线l的方程为y=kx+，由，消去y可得（1+3k²）x²+9kx-=0，求出EF的中点N的坐标为（-，），利用，可得k_DN•k=-1，从而求出直线的斜率，即可求得直线l的方程．
解答：解：（I）由点A是椭圆M：上的点，点A的坐标为，可知：A是长轴端点故：a=
又且BC过椭圆M的中心（0，0），∴|BC|=2|0C|=2|0B|，|AC|=|OC|，
∵，∴AC⊥BC，∴∠AOC=，
∵|OA|=，∴C点坐标为（，）
代入方程得：
∴b²=4，b=2，
∴椭圆方程为：
（II）设直线l的方程为y=kx+，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）
由，消去y可得（1+3k²）x²+9kx-=0
∴x₁+x₂=-，∴y₁+y₂=
∴EF的中点N的坐标为（-，）
∵D（0，-2）
∴
∵
∴k_DN•k=-1
∴
∴
∴
∴直线l的方程为y=x+．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将，转化为k_DN•k=-1进行求解．