Question

3．证明：x∈[0，+∞），e^x+x³-2x²≥（e-1）x．

Answer 1

分析 问题转化为e^x-ex≥-x³+2x²-x，分别构造函数f（x）=e^x-ex，g（x）=-x³+2x²-x，利用导数求出f（x）_min=0，g（x）_max=0，问题得以证明．

解答 证明：要证明x∈[0，+∞），e^x+x³-2x²≥（e-1）x，
只要证：x∈[0，+∞），e^x-ex≥-x³+2x²-x
设f（x）=e^x-ex，
∴f′（x）=e^x-e，
令f′（x）=0，解的x=1，
当f′（x）＞0时，即x＞1，函数为增函数，
当f′（x）＜0时，即x＜1，函数为减函数
∴f（x）_min=f（1）=e-e=0，
设g（x）=-x³+2x²-x，
∴g′（x）=-3x²+4x-1，
令g′（x）=0，解的x=1，或x=$\frac{1}{3}$，
当g′（x）＞0时，即$\frac{1}{3}$＜x＜1，函数为增函数，
当g′（x）＜0时，即0≤x＜$\frac{1}{3}$，或x＞1，函数为减函数，
∴当x=1时，函数有极大值，极大值为g（1）=0，
∴g（0）=0，
∴g（x）_max=0，
∴对于任意x∈[0，+∞），f（x）_min≥g（x）_max，
∴f（x）≥g（x）在[0，+∞）上恒成立，
∴e^x-ex≥-x³+2x²-x在[0，+∞）上恒成立，
∴对x∈[0，+∞），e^x+x³-2x²≥（e-1）x．

点评 本题借助导数和函数的最值得关系，证明不等式成立，关键是构造函数，求出函数的最值，属于中档题．