Question

已知函数，在时取得极值，若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：利用函数在时取得极值，可得函数解析式，由f（x）=-2x+b知，构建函数，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最值，从而可建立不等式，即可求得实数b的取值范围．
解答：解：∵，由，得a=1
∴（3分）
由f（x）=-2x+b知，（4分）
令，则
当时，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在上递增；当时，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在上递减，而，（8分）
∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于，（10分）
解得（12分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．