Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，当x=-1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值．
（1）求a、b、c的值；
（2）求f（x）在x=3处的切线方程．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，根据当x=-1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，可知-1，3是方程f'（x）=0的根，从而可得到关于a，b的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，即可求出c的值．
（2）利用导数的几何意义，能求出函数f（x）在x=3处的切线斜率，再求出切点，从而求出切线方程．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f'（x）=3x²+2ax+b．
∵当x=-1时，函数取得极大值，x=3时，函数取得极小值．
∴-1，3是方程f'（x）=0的根，即-1，3为方程3x²+2ax+b=0的两根．
∴

-1+3=-  2a 3 -1×3=  b 3

，
∴a=-3，b=-9，
∴f（x）=x³-3x²-9x+c，
∵当x=-1时取得极大值7，
∴（-1）³-3（-1）²-9（-1）+c=7，
∴c=2；
（2）由（1）知f（x）=x³-3x²-9x+2．
∴f′（x）=3x²-6x-9，
∴f（3）=3³-3×3²-9×3+2=-25，f′（3）=0，
∴f（x）在x=3处的切线方程为x=-25．

点评：本题考查利用导数求函数的极大值和极小值的应用，以及求函数在某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于基础题．