Question

如图1， 在直角梯形中， ， ，，为线段的中点. 将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.
（1）求证:平面；
（2）求二面角的余弦值.   

Answer 1

（1）根据线面垂直的性质定理来证明线线垂直。
（2）

试题分析：解析：（1）在图1中， 可得， 从而，
故.
取中点连结， 则， 又面面，
面面， 面， 从而平面.
∴，又， .
∴平面.
（2）建立空间直角坐标系如图所示，

则， ， ，，
.
设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.
又为面的一个法向量，∴.
∴二面角的余弦值为.
（法二）如图，取的中点，的中点，连结.

易知，又，，又，.
又为的中位线，因，，，且都在面内，故，故即为二面角的平面角.
在中，易知；
在中，易知，.
在中.
故.
∴二面角的余弦值为.
点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。