题目内容

已知数列{an}各项均为正数,Sn为其前n项的和.对于任意的n∈N*,都有4Sn=(an+1)2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立,求实数t的最大值.

解：(1)∵4S1=4a1=(a1+1)2,∴a1=1.

当n≥2时,4an=4Sn-4S n-1=(an+1)2-(a n-1+1)2,∴2(an+a n-1)=an2-a n-12.

又{an}各项均为正数,∴an-a n-1=2，数列{an}是等差数列.∴an=2n-1.

(2)Sn=n2,若2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立,则t≤min{}.令bn=,

当n≥3时,＞1,

又b1=2,b2=1,b3=,∴min{bn}=min{}=.∴t的最大值是.

练习册系列答案
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已知数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p为大于1的常数），则an=（　　）
已知数列{an}各项均为正数，观察下面的程序框图
（1）若d≠0，分别写出当k=2，k=3时s的表达式．
（2）当输入a1=d=2，k=100 时，求s的值（ 其中2的高次方不用算出）．
（2012•资阳一模）已知数列{an}各项为正数，前n项和Sn=
1
2
an(an+1)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+3an，求数列{bn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令cn=
3an
2
b
2
n
，数列{cn}前n项和为Tn，求证：Tn＜2．
已知数列{an}各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n∈N*都有（1-p）Sn=p-pan（p≠±1的常数），记f(n)=
1+
C
1
n
a1+
C
2
n
a2+…+
C
n
n
an
2nSn
．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）求
lim
n→∞
f(n+1)
f(n)
；
（Ⅲ）当p＞1时，设bn=
p+1
2p
-
f(n+1)
f(n)
，求数列{pk+1bkbk+1}的前n项和．
已知数列{an}各项均为正数，满足n
a
2
n
+(1-n2)a n-n=0．
（1）计算a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
an
2n
}的前n项和Sn．

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