Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．

(1)求证：A₁B∥平面ADC₁；
(2)若AB＝BB₁＝2，求A₁D与平面AC₁D所成角的正弦值．

Answer 1

（1）见解析（2）

(1)证明:因为三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以四边形A₁ACC₁是矩形．连接A₁C交AC₁于O，则O是A₁C的中点，又D是BC的中点，所以在△ADC₁中，OD∥A₁B，因为A₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，所以A₁B∥平面ADC₁.
(2)解:因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以AD⊥BC.以D为原点，建立如图所示空间坐标系D-xyz.由已知AB＝BB₁＝2，得D(0,0,0)，A(，0,0)，A₁(，0,2)，C₁(0，－1,2)．

则＝(，0,0)，＝(0，－1，2)，设平面AC₁D的法向量为n＝(x，y，z)，由得
取z＝1，则x＝0，y＝2，
∴n＝(0,2,1)，又＝(，0,2)，∴cos〈，n〉＝＝，设A₁D与平面ADC₁所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|＝，
故A₁D与平面ADC₁所成角的正弦值为.