题目内容

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为 $数学公式$ ，右准线为l：x=4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若 $数学公式$ ，判断点B是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；
（3）连接PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ 所以b²=3．
所以椭圆方程为 $\text{[math]}$ =1． …（4分）
（2）因为， $\text{[math]}$ ，所以x_M=1，代入椭圆得y_M= $\text{[math]}$ ，即M（1， $\text{[math]}$ ），
所以直线AM为：y= $\text{[math]}$ （x+2），得P（4，3），
所以 $\text{[math]}$ =（-1， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（2，3）． …（8分）
因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上． …（10分）
（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）．
直线AM的方程为：y= $\text{[math]}$ （x+2），所以y_p= $\text{[math]}$ ，
直线BN的方程为：y= $\text{[math]}$ （x-2），所以y_p= $\text{[math]}$ ，…（12分）
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．因为y₁≠0，所以 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．解得x₁=1．
所以点M的坐标为（1，± $\text{[math]}$ ）． …（16分）
分析：（1）由题意建立方程组 $\text{[math]}$ 可求a²和b²的值，可写方程；
（2）要判断点B是否在圆上，可转化为判 $\text{[math]}$ 是否为0；
（3）设点，写出直线的方程，分别和椭圆方程联立，可解得y_p= $\text{[math]}$ ，和y_p= $\text{[math]}$ ，由两式相等可解得M坐标．
点评：本题为椭圆与直线的位置关系的考查，涉及向量的知识和圆的知识，属中档题．