Question

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为

1

2

．过F₁的直线L交C于A，B两点，且△ABF₂的周长为16，那么C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1

．

Answer 1

分析：依题意，可设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，由△ABF₂的周长为16，可求得a，离心率为

1

2

可求得c，利用a²-c²=b²可求得b²，从而可求得C的方程．

解答：解：设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵△ABF₂的周长为16，
∴4a=16，
∴a=4，
又椭圆C的离心率e=

c

a

=

1

2

，
∴c=2，
∴b²=a²-c²=16-4=12．
∴椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
故答案为：

x2

16

+

y2

12

=1．

点评：本题考查椭圆的标准方程与椭圆的性质，考查方程思想，属于中档题．