Question

【题目】已知函数,且曲线在点处的切线与轴垂直.

(I)求函数的单调区间;

(Ⅱ)若对任意(其中为自然对数的底数),都有恒成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）单调减区间为，单调增区间为.

(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由导数的几何意义及条件可得，解得．然后由导函数大于（小于）零可得函数的单调区间．(Ⅱ)由（Ⅰ）可得，令 ，结合导数可得时，单调递减，故．由，可得．然后再验证当时，成立即可．本题也可分为和两种情况分别求出的取值范围，然后取其并集即可．

试题解析：

（Ⅰ）的定义域为，

∵，定义域为，

∴．

由题意知，解得,

∴，

由，解得；由，解得，

的单调减区间为，单调增区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

．

法一：设，则，

令，则，

时，，故在上单调递减，

，

时，，单调递减，

时，，

由题意知，又

.

下面证明当时，成立，

即证成立，

令，则，

由，得在是增函数，

时，，

成立，即成立，

故正数的取值范围是.

法二：①当时，可化为，

令，则问题转化为证明对任意恒成立.

又，

令，得，令，得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，下面验证.

设，则.

所以在上单调递减，

所以.即.

故此时不满足对任意恒成立；

当时，函数在上单调递增.

故对任意恒成立，

故符合题意.

综合,得.

②当时，，则问题转化为证明对任意恒成立.

又，

令得 ；令，得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，在上是增函数，所以

当时，在上单调递增，在上单调递减，

所以只需，即

当时，在上单调递减，则需.

因为不符合题意.

综合可得.

由①②得正数的取值范围是．