Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°,AD=

       （Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

 

Answer 1

本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。

       方法一：

       （Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形。又ABCD为矩形，

所以AD⊥∥EG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG。

因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH。

          由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得

                   AB⊥平面BEFC，

      从而         AH⊥EF，

      所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角。

          在Rt△EFG中，因为EG=AD=

          又因为CE⊥EF，所以CF=4，

      从而       BE=CG=3。

           于是BH=BE·sin∠BEH=

           因为AB=BH·tan∠AHB,

      所以当AB为时，二面角A-EF-G的大小为60°.

方法二：

    如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别

作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.

    设AB=a,BE=b,CF=c,

则C（0，0，0），A（

（Ⅰ）证明：

      所以

      所以CB⊥平面ABE。

              因为CB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF

故AE∥平面DCF

（II）解：因为，

所以，从而

解得b＝3，c＝4．

所以．

设与平面AEF垂直，

则  ，

解得  ．

又因为BA⊥平面BEFC，，

所以，

得到   ．

所以当AB为时，二面角A－EF－C的大小为60°．