Question

（2013•乐山一模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象（部分）如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=l，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据函数的最大值得出A=2，由函数的周期T=4（

5π

12

-

π

6

）=π算出ω=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）．最后根据当x=

π

6

时函数取得最大值，解出φ=

π

6

，从而得出函数f（x）的解析式；
（2）由（1）的函数解析式结合f（A）=1解出A=

π

6

，利用余弦定理结合题中数据算出bc=3（2-

3

），再根据正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积．

解答：解：（1）∵函数的最大值为2，∴A=2
又∵函数的周期T=4（

5π

12

-

π

6

）=π，
∴ω=

2π

T

=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+φ）
∵f（

π

6

）=2为函数的最大值，∴2×

π

6

+φ=

π

2

+2π（k∈Z）
结合|φ|＜

π

2

，取k=0得φ=

π

6

∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）
（2）由（1）得f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，
∵A∈（0，π），∴2A+

π

6

=

π

2

，得A=

π

6

根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cos

π

6

），
即1=2²-2bc（1+cos

π

6

），解之得bc=

3

2+ 3

=3（2-

3

）
因此，△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×3（2-

3

）×sin

π

6

=

6-3 3

4

点评：本题给出三角函数的部分图象，求函数的表达式，并依此求三角形ABC的面积，着重考查了三角函数的图象与性质、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．