Question

（2013•乐山一模）已知数列{a_n}的前n项和Sn=

3

2

(an-1)，n∈N*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

3

2

(an-1)，n∈N^*，知a₁=3，Sn+1=

3

2

(an+1-1)．所以a_n+1=Sn+1-Sn=

3

2

(an+1-an)，即a_n+1=3a_n，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）对于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，等价于k≥(

4n+1

3n

)  max，因为{

4n+1

3 n

}是单调减数列，所以(

4n+1

3 n

)max=

4×1+1

3

=

5

3

，由此能求出实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵Sn=

3

2

(an-1)，n∈N^*，
∴a1=

3

2

(a1-1)，
解得a₁=3．
∵Sn=

3

2

(an-1)，n∈N^*，
∴Sn+1=

3

2

(an+1-1)．
两式相减，得a_n+1=Sn+1-Sn=

3

2

(an+1-an)，
∴a_n+1=3a_n，
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
从而{a_n}的通项公式是a_n=3ⁿ，n∈N^*．
（2）由（1）知，对于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，
等价于k≥

4n+1

3 n

对任意的n∈N^*成立，
等价于k≥(

4n+1

3n

)  max，
而

4(n+1)+1 3n+1

4n+1 3n

=

4n+5

3(4n+1)

=1-

8n-2

12n+3

＜1，n∈N₊，
∴{

4n+1

3 n

}是单调减数列，
∴(

4n+1

3 n

)max=

4×1+1

3

=

5

3

，
∴实数k的取值范围是[

5

3

，+∞)．

点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化．