Question

（2013•乐山一模）济南高新区引进一高科技企业，投入资金720万元建设基本设施，第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元；每年企业销售收入500万元，设f（n）表示前n年的纯收入．（f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额）
（Ⅰ）从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后，该企业为开发新产品，有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以480万元出售该企业；
②纯利润最大时，以160万元出售该企业；
问哪种方案最合算？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据第一年各种运营费用120万元，以后每年增加40万元，可知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列，利用f（n）=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额，可确立函数的解析式，进而可建立不等式，从而可求从第几年开始获取纯利润．
（Ⅱ）①求出年平均利润，利用基本不等式，可求此方案获利最大值的时间；②f（n）=-20n²+400n-720=-20（n-10）²+1280，利用配方法，求此方案获利最大值的时间，比较即可得出结论．

解答：解：由题意知每年的运营费用是以120为首项，40为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f（n），
设f(n)=500n-[120n+

n(n-1)

2

×40]-720=-20n2+400n-720．------（3分）
（Ⅰ）获取纯利润就是要求f（n）＞0，故有-20n²+400n-720＞0，解得2＜n＜18．又n∈N^*，知从第三年开始获取纯利润．-----------------（5分）
（Ⅱ）①年平均利润

f(n)

n

=400-20(n+

36

n

)≤160，当且仅当n=6时取等号．故此方案获利6×160+480=1440（万元），此时n=6．-----------------（7分）
②f（n）=-20n²+400n-720=-20（n-10）²+1280，当n=10时，f（n）_max=1280．
故此方案共获利1280+160=1440（万元）．-----------------（9分）
比较两种方案，在同等数额获利的基础上，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案．-----------------（10分）

点评：本题考查数列模型，考查基本不等式的运用，考查二次函数最值的研究，解题的关键是建立数列模型，选择适当的方法求最值．