Question

已知ABCD是空间四边形形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果对角线AC＝4，BD＝2，那么EG2+HF2的值等于

1. A.
   10               
2. B.
   15            
3. C.
   20           
4. D.
   25

Answer 1

A

试题分析：依次连接EF、FG、GH、HE
∵E是AB中点，H是AD中点，∴EH∥BD，且EH=" BD=1"
同理：
FG∥BD，FG=" BD=1" ,所以，EH∥FG，EH=FG
同理，EF∥HG，EF=HG
所以，四边形EFGH为边长为1、2的平行四边形
设∠EHG=θ，那么∠HEF="180°-θ"
在△EHG中，由余弦定理有：
EG2="EH2+HG2-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ"
在△EFH中，由余弦定理有：
FH2=EF2+EH2-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）="5+4cosθ"
上述两式相加，得到：
EG2+FH2=5-4cosθ+5+4cosθ=10
故选A
考点：本题主要考查空间四边形中的线线平行关系及余弦定理的应用。
点评：注意把立体几何问题转化成平面问题，这里运用了余弦定理，对高一学生来说是个难题。