Question

1．函数f（x）=x²-2ax+2，x∈[-1，1]．
（1）讨论f（x）在[-1，1]上的奇偶性；
（2）f（x）在[-1，1]上的最小值记为g（a），试写出g（a）的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）先将函数配方，确定函数的对称轴，再利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论，从而可求函数f（x）=x²-2ax+2在区间[-1，1]上的最小值．

解答 解：（1）若a=0，则f（x）=x²+2，
则f（-x）=f（x），即函数f（x）为偶函数，
若a≠0，则f（1）=3-2a，f（-1）=3+2a，
则f（-1）≠-f（1）且f（-1）≠f（1），此时f（x）为非奇非偶函数．
（2）f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²．
①当a＜-1时，函数在区间[-1，1]上单调增，
∴函数f（x）的最小值为g（a）=f（-1）=3+2a；
②当-1≤a≤1时，函数在区间[-1，a]上单调减，在区间[a，1]上单调增，
∴f（x）的最小值为g（a）=f（a）=2-a²；
③当a＞1时，函数在区间[-1，1]上单调减，
∴f（x）的最小值为g（a）=f（1）=3-2a．
综上可知，f（x）的最小值为g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3+2a，}&{a＜-1}\\{2-{a}^{2}，}&{-1≤a≤1}\\{3-2a，}&{a＞1}\end{array}\right.$．

点评 本题重点考查二次函数在指定区间上的最值问题，解题的关键是正确配方，确定函数的对称轴，利用对称轴与区间的位置关系，进行分类讨论．