Question

【题目】如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，点，分别在棱，上，且满足，.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）在棱上取一点，使得，连接，，可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以为坐标原点以为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，结合平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.

（1）在棱上取一点，使得，连接，，

因为，，所以，

所以.又因为，，所以，，

所以是平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以平面.

（2）依题意，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，

所以，.

设平面的法向量为，则，即，取，

则.

又平面，所以平面的一个法向量为，

所以，

又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.