题目内容

设椭圆M： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为 $数学公式$ ，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证：直线l的横截距n为定值．

解：（Ⅰ）由e²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得a= $\text{[math]}$ b
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b= $\text{[math]}$ ，∴b=3，

∴b²=9，a²=16
从而椭圆M的方程为： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1．
（Ⅱ）易知P（3，0），设C（x₁，y₁），（x₂，y₂），将x=my+n代入 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1化简整理得
（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0
则y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0?（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0即（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0
又x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn
∴（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，
整理得（m²+1）y₁y₂+m（n-3）（y₁+y₂）+（n-3）²=0
即（m²+1）× $\text{[math]}$ +m（n-3）× $\text{[math]}$ +（n-3）²=0
易知n≠3，∴16（m²+1）（n+3）-32m²n+（16m²+9）（n-3）=0
展开得25n+21=0?n=- $\text{[math]}$
∴直线l的横截距n为定值

分析：（Ⅰ）由e²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得a= $\text{[math]}$ b，由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，再由点O到直线AB的距离 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b= $\text{[math]}$ ，知b=3，由此能够得到椭圆M的方程．
（Ⅱ）P（3，0），设C（x₁，y₁），（x₂，y₂），将x=my+n代入 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，得（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0，则y₁+y₂= $\text{[math]}$ ，y₁y₂= $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，知（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0，由x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn，知（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，由此能够证明直线l的横截距n为定值．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线l的横截距n为定值的证明，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和合理地进行等价转化．