Question

设椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点A（a，0），B（0，-b），原点O到直线AB的距离为．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=2x+m与椭圆M相交于C、D不同两点，经过线段CD上点E的直线与y轴相交于点P，且有=0，||=||，试求△PCD面积S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由得a=．可得直线AB的方程为，于是，由此能够求出椭圆M的方程．
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由方程组，得9x²+8mx+2m²-4=0，所以有，，且△≥0，即m²≤18.=．由，E是线段CD的中点，由此能求出S的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由得a=  （2分）
可得直线AB的方程为，于是，
得b=，b²=2，a²=4，所以椭圆M的方程为  （2分）
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由方程组，
得9x²+8mx+2m²-4=0，
所以有，，且△≥0，即m²≤18．（2分）

=
=
=
=．（2分）
因为，
所以，
又，
所以E是线段CD的中点，
点E的坐标为，即E的坐标是，
因此直线PE的方程为y=-，得点P的坐标为（0，-），
所以|PE|=
=．（2分）
因此
=．
所以当m²=9，即m=±3时，S取得最大值，最大值为．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．