Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=10n-n²．
（1）求数列{|a_n|}的通项公式；
（2）若H_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求H_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=10n-n²，可得a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n=11-2n．由a_n≥0，解得n．即可得出|a_n|．
（2）当n≤5时，a_n＞0，|a_n|=a_n．可得H_n=S_n．当n≥6时，a_n＜0，|a_n|=-a_n．可得H_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n=2S₅-S_n．

解答 解：（1）∵S_n=10n-n²，∴a₁=S₁=10-1=9，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=11-2n．
当n=1时，上式也成立，
∴a_n=11-2n．
由a_n≥0，解得n≤$\frac{11}{2}$=5+$\frac{1}{2}$．
∴当n≤5时，a_n＞0；当n≥6时，a_n＜0．
∴|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{11-2n，n≤5}\\{2n-11，n≥6}\end{array}\right.$．
（2）当n≤5时，a_n＞0，|a_n|=a_n．
∴H_n=a₁+a₂+…+a_n=S_n=10n-n²．
当n≥6时，a_n＜0，|a_n|=-a_n．
H_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n=2S₅-S_n=2×（10×5-5²）-（10n-n²）=n²-10n+50．
∴H_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、含绝对值符号的数列求和，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．