Question

已知

m

=(

3

sinx，2cosx)，

n

=(2cosx，-cosx)，函数f(x)=

m

•

n

-1．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期和对称轴的方程；
（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，f（A）=0，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数量积的定义何三角函数的公式，可得函数为f（x）=2sin(2x-

π

6

)-2，易得周期和对称轴；
（Ⅱ）由题意可得sin(2A-

π

6

)=1，进而可得A=

π

3

，由正弦定理可得b+c=2sin(B+

π

6

)，由B的范围可得sin（B+

π

6

）的范围，进而可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得f(x)=

3

sin2x-2cos2x-1
=

3

sin2x-cos2x-2=2sin(2x-

π

6

)-2．…（2分）
故f（x）的最小正周期为π，…（3分）
由2x-

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z）得对称轴的方程为x=

1

2

kπ+

π

3

，k∈Z．…（4分）
（Ⅱ）由f（A）=0得2sin(2A-

π

6

)-2=0，即sin(2A-

π

6

)=1，
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

11π

6

，∴2A-

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

，…（6分）
由正弦定理得b+c=

2

3

(sinB+sinC)=

2

3

[sinB+sin(

2π

3

-B)]=2sin(B+

π

6

)…（8分）
∵A=

π

3

，∴B∈(0，

2π

3

)，B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，
∴b+c的取值范围为（1，2]．…（10分）

点评：本题考查向量数量积的运算，以及三角形的正弦定理，属中档题．