Question

【题目】已知直三棱柱中所有棱长都相等，、分别为、的中点.现有下列四个结论：

；；

平面；异面直线与所成角的正弦值是.

其中正确的结论是（ ）

A.，B.，

C.，D.，

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据空间平行线的传递性可判断命题的正误；求出异面直线与所成角的余弦值，可判断命题的正误；利用线面垂直的判定定理可判断命题的正误；求出异面直线与所成角的正弦值，可判断命题④的正误.综合可得出结论.

对于命题，分别取、、的中点、、，连接、、，

、分别为、的中点，，同理，，，

若，则，事实上与相交，所以，命题错误；

对于命题，取的中点，连接、、，

设正三棱柱的所有棱长为，

且，、分别为、的中点，且，

四边形为平行四边形，所以，且，

平面，平面，平面，，

易知，，

，同理，

由余弦定理得，

，，所以，异面直线与所成角为的补角，其余弦值为，

所以，与不垂直，命题错误；

对于命题，连接、、，

四边形为正方形，所以，，，，

为等边三角形，为的中点，，

平面，平面，，

，平面，平面，，

，平面，命题正确；

对于命题，连接，设正三棱柱的所有棱长为，

易得，，

由余弦定理得，，

，所以，异面直线与所成的角为，其正弦值为，命题正确.

故选：D.