Question

已知：正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁棱长为a．

(1)求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；

(2)求平面A₁BD和平面B₁D₁C的距离．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 　　∵BB1平行且等于DD1， 　　∴四边形BB1D1D是平行四边形， 　　∴BD∥B1D1， 　　∴BD∥平面B1D1C． 　　同理A1B∥平面B1D1C， 　　又A1B∩BD＝B， 　　∴平面A1BD∥平面B1D1C 　　解：(2)连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N． 　　AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD， 　　∴AC1⊥BD， 　　同理可证，AC1⊥A1B， 　　∴AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD， 　　同理可证MN⊥平面B1D1C． 　　∴MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离， 　　设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E． 　　∵M∈平面A1BD，M∈AC1平面A1C， 　　∴M∈A1E． 　　同理N∈CF． 　　在矩形AA1C1C中，见下图，由平面几何知识得 　　， 　　∴． 　　评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．