Question

（2007•河东区一模）已知：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（Ⅰ）求棱AA₁与平面A₁BD所成的角；
（Ⅱ）求二面角B-A₁D-B₁的大小；
（Ⅲ）求四面体A₁-BB₁D的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BD的中点O，连结OA，OA₁．证出∠AA₁O为AA₁与平面A₁BD所成的角．并求解．
（Ⅱ）取B₁C的中点E，A₁D的中点F，连结BE、EF、FB．证出∠BFE为二面角B-A₁D-B₁的平面角．
在Rt△BEF中求解．
（Ⅲ）利用体积转化法求四面体A₁-BB₁D的体积．V=V _B--A1B1D=V _B-B1DC=V _D-BCB1

解答：解：（Ⅰ）取BD的中点O，连结OA，OA₁．
∵四边形ABCD为正方形，∴AO⊥BD，
又AA₁⊥BD，∴BD⊥平面AA₁O，
∴AA₁在平面A₁BD上的射影落在OA₁上，
∴∠AA₁O为AA₁与平面A₁BD所成的角．
∵AA₁=1，AO=

2

2

，∴tan∠AA₁O=

2

2

，∴∠AA₁O=arctan

2

2

．----4分
（Ⅱ）取B₁C的中点E，A₁D的中点F，连结BE、EF、FB．
∵△A₁BD为正三角形，∴BF⊥A₁O，
又四边形A₁B₁CD是矩形，∴EF⊥A₁D，
∴∠BFE为二面角B-A₁D-B₁的平面角．
∵EF∥A₁B₁，A₁B₁⊥平面BC₁，∴EF⊥BF．
在Rt△BEF中，BE=

2

2

，EF=1，∴tan∠BFE=

2

2

，
∴∠BFE=arctan

2

2

．-----------------------------------------------------------------8分
（Ⅲ）（Ⅲ）四面体A₁-BB₁D的体积V=V _B--A1B1D=V _B-B1DC=V _D-BCB1=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

．--12分．

点评：本题考查空间角大小体积的求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．