Question

(20)如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A₁处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B₁处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A₂处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₂处.此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？

Answer 1

解法一：如图，连结A₁B₂，由已知A₂B₂=10，

A₁A₂=，

∴A₁A₂=A₂B₂，

又∠A₁A₂B₂=180°-120°=60°

∴△A₁A₂B₂是等边三角形，

∴A₁B₂=A₁A₂=10.

由已知，A₁B₁=20.

∠B₁A₁B₂=105°-60°=45°，

在△A₁B₂B₁中，由余弦定理，

B₁B=A₁B+A₁B-2A₁B₁·A₁B₂·cos45°=20²+()²-2×20×10×=200.

∴B₁B₂=.

因此，乙船的速度的大小为×60=30(海里/小时).

答：乙船每小时航行30海里.

解法二：如图，连结A₂B₁，由已知A₁B₁=20,A₁A₂=×,∠B₁A₁A₂=105°,

cos105°=cos(45°+60°)=cos45°cos60°-sin45°sin60°=.

sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos50°+cos45°sin60°=.

在△A₂A₁B₁中，由余弦定理，

-2A₁B₂·A₁A₂·cos105°

=()²+20²-2××20×

=100(4+2).

∴A₂B₁=10(1+).

由正弦定理.

sin∠A₁A₂B₁=·sin∠B₁A₁A₂=，

∴∠A₁A₂B₁=45°，即∠B₁A₂B₂=60°-45°=15°，

sin15°=sin105°=.

在△B₁A₁B₂中，由已知A₂B₂=10，由余弦定理.

-2A₂B₁·A₂B₂·cos15°

=10²(1+)²+(10)²-2×10(1+)×10×=200.

∴B₁B₂=10.

乙船的速度的大小为×60=30海里/小时.

答：乙船每小时航行30海里.