Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax+4．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）当a=-4时，若函数f（x）在区间[m，3]上的最大值为$\frac{28}{3}$，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性；（2）将a=-4代入函数的表达式，通过求导得到函数的单调性，求出函数的极值，从而得到m的范围．

解答 解：（1）f′（x）=x²+a，
①a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
②a＜0时，f′（x）=（x+$\sqrt{-a}$）（x-$\sqrt{-a}$），
令f′（x）=0，得x₁=-$\sqrt{-a}$＜0，x₂=$\sqrt{-a}$＞0，
∴x∈（-∞，x₁）时，f′（x）＞0；x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0；x∈（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递增；在（x₁，x₂）上单调递减；
（2）当a=-4时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4，x∈[m，3]，
f′（x）=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0得x₁=-2，x₂=2，
将x，f′（x），f（x）变化情况列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

由此表可得：f（x）_极大值=f（-2）=$\frac{28}{3}$，f（x）_极小值=f（2）=-$\frac{4}{3}$，
又f（3）=1＜$\frac{28}{3}$，
故区间[m，3]内必须含有-2，即m的取值范围是（-∞，-2]．

点评 本题考察了函数的单调性、函数的极值问题，考察导数的应用，本题属于中档题．