Question

14．已知映射f：P（m，n）→P′（-m，2n）（m≥0，n≥0）．设点A（1，3），B（3，1），点M是线段AB上一动点，f：M→M′．当点M是线段AB的中点时，点M′的坐标是（-2，4）；当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点M'所经过的路线长度为$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐标之间的关系，代入直线的方程即可得到结论．

解答 解：线段AB的中点M（2，2），则M′（-2，4），
∵A（1，3），B（3，1），
∴AB的方程为$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-3}{1-3}$，即x+y=4，
设P（x₁，y₁），P′（-x₁，2y₁），且x₁+y₁=4
设$\left\{\begin{array}{l}{x=-{x}_{1}}\\{y=2{y}_{1}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-x}\\{{y}_{1}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
则-x+$\frac{y}{2}$=4，
即y=2x+8，
则M′对应的轨迹为直线y=2x+8，
A′（-1，6），B′（-3，2），
则|A′B′|=$\sqrt{（-1+3）^{2}+（6-2）^{2}}$=$\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$=$2\sqrt{5}$，
故答案为：（-2，4），$2\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查映射的应用，以及两点间的距离公式的应用，考查学生的转化能力．