Question

7．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=x，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=-1，O为△ABC所在平面内的一点，2$\overrightarrow{BO}$=（1-λ）$\overrightarrow{BC}$-2λ$\overrightarrow{AB}$（0≤λ≤1）．
（1）指出点O所在的位置，并给予证明；
（2）设f（λ）=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），求函数f（λ）的最小值g（x），并求出相应的λ值．

Answer 1

分析 （1）点O在BC边的中线AD上，根据向量的加减的几何意义和向量共线的条件即可证明；
（2）先求出f（λ）=2[（λ-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]-$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{AD}$|²，λ=$\frac{1}{2}$时，f（λ）_min=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AD}$|²，再根据向量的夹角公式，向量的数量积公式，余弦定理，得到f（λ）_min=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AD}$|²=-$\frac{5}{8}$（x²+1），此时λ=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）点O在BC边的中线AD上，
证明：取BC的中点D，则$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，
∵2$\overrightarrow{BO}$=（1-λ）$\overrightarrow{BC}$-2λ$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{BO}$=$\frac{1}{2}$（1-λ）$\overrightarrow{BC}$+λ$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{BO}$=（1-λ）$\overrightarrow{BD}$+λ$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{BO}$-$\overrightarrow{BD}$=λ（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BD}$），
∴$\overrightarrow{DO}$=λ$\overrightarrow{DA}$，
∵0≤λ≤1，
∴$\overrightarrow{DO}∥\overrightarrow{DA}$，且方向相同，
∴点O在BC边的中线AD上；
（2）∵D为BC的中点，
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OD}$，
∵$\overrightarrow{DO}$=λ$\overrightarrow{DA}$，
∴$\overrightarrow{OD}$=λ$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}$=（λ-1）$\overrightarrow{AD}$，
∴f（λ）=$\overrightarrow{OA}$•（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\overrightarrow{OA}•2\overrightarrow{OD}$=（λ-1）$\overrightarrow{AD}$•2λ$\overrightarrow{AD}$=2（λ²-λ）|$\overrightarrow{AD}$|²=2[（λ-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$]-$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{AD}$|²，
∴λ=$\frac{1}{2}$时，f（λ）_min=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AD}$|²，
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=-1，
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=-1，
∴|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|cosC=-1，
∴CA•CB•cosC=-1，
∴CA•CB•$\frac{C{A}^{2}+C{B}^{2}-A{B}^{2}}{2CA•CB}$=-1，
∴x²+CB²-1=-2，
在△ACD中，AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosC=x²+$\frac{1}{4}$CB²-CA•CB•cosC=x²+$\frac{1}{4}$（x²+1）+1=$\frac{5}{4}$（x²+1），
∴f（λ）_min=g（x）=-$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AD}$|²=-$\frac{5}{8}$（x²+1），此时λ=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量的加减的几何意义，向量的数量积运算，余弦定理，函数的最值，培养学生的转化能力，知识的应用能力，属于难题．