Question

12．已知函数f（x）=ax（x+1）-lnx．
（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）+lnx-ax²+e^x，当a＜-1时，求g（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求得导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得g（x）的导数，令导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间，进而得到极值．

解答 解：（1）当a=1，f（x）=x（x+1）-lnx=x²+x-lnx，
f（1）=1+1-ln1=2，∴切点坐标为（1，2），
$f'（x）=2x+1-\frac{1}{x}$，∴k=f'（1）=2+1-1=2．
根据直线的点斜式方程，切线方程为y-2=2（x-1），
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程2x-y=0；
（2）依题意得，g（x）=ax²+ax-lnx+lnx-ax²+e^x=ax+e^x
g'（x）=a+e^x，由e^x＞-a，
∵a＜-1，∴-a＞1，解得x＞ln（-a），
∴f（x）在（ln（-a），+∞）上单调递增，
在（0，ln（-a））上单调递减．
∴$g{（x）_{极小值}}=g（ln（-a））=aln（-a）+{e^{ln（-a）}}=-a+aln（-a）$，g（x）无极大值．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查运算能力，正确求出导数是解题的关键．