Question

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：在递推公式中，依次令n=1，2，3代入式子计算，求a₂，a₃，a₄，由特殊值的规律推导出一般关系式为a_n=n+1． 再按照数学归纳法步骤进行证明．

解答：解：根据题目给出的关系式可得：
n=1，a₂=a₁²-a₁+1=2²-2+1=3，
n=2，a₃=a₂²-2a₂+1=3²-2×3+1=4，
n=3，a₄=a₃²-3a₃+1=4²-3×4+1=5，
由此可以猜测a_n=n+1．
下面用数学归纳法证明
当n=1时，a2=2=1+1，成立．
假设当n=k（k≥2）时成立．即a_k=k+1，
那么当n=k+1时，a_k+1=a_k²-ka_n+1=（k+1）²-k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1
即当n=k+1时也成立．
所以a_n=n+1．

点评：本题考查了数列的递推公式，数学归纳法，考查计算、推理与证明的能力．