Question

（2013•肇庆二模）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosB=

4

5

．
（1）求cos（A+C）的值；
（2）求sin(B+

π

6

)的值；
（3）若

BA

•

BC

=20，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和，可以得出A+C=π-B，即可知cos（A+C）=cos（π-B），直接求的结果．
（2）首先根据同角三角函数的基本关系求出sinB的值，然后由两角和与差公式求得答案．
（3）平面向量数量积的运算公式，可以得出ac=25，再由三角形的面积公式S=

1

2

acsinB求出面积．

解答：解：（1）在△ABC中，∵A+B+C=π，∴A+C=π-B（1分）
∵cosB=

4

5

，∴cos(A+C)=cos(π-B)=-cosB=-

4

5

（3分）
（2）在△ABC中，∵cosB=

4

5

，∴sinB=

1-cos2B

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

（5分）
∴sin(B+

π

6

)=sinBcos

π

6

+sin

π

6

cosB=

3

5

×

3

2

+

1

2

×

4

5

=

3 3 +4

10

（8分）
（3）∵

BA

•

BC

=20，即|

BA

||

BC

|cosB=20，（9分）
∴c•a×

4

5

=20，即ac=25（10分）
∴△ABC的面积S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×25×

3

5

=

15

2

（12分）

点评：本题考查了两角差与和公式、同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式，熟练掌握公式是解题的关键，属于中档题．