Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB₁上一点，且A₁P⊥B₁M．
（1）试求A₁P与平面APC所成角的正弦；
（2）求点A₁到平面APC的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立适当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，再利用垂直关系的向量表示即可求得点P的坐标；进一步求出平面APC的法向量，最后利用向量的夹角公式即可求出直线A₁P与平面APC所成角；
（2）先利用空间中两点的距离公式求出：，设A₁到平面PAC的距离为d，最后结合d与|A₁P|的关系即可求出d值．
解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则相关各点的坐标为A₁（2，0，0），B₁，
由A₁P⊥B₁M知
∴，
即点P的坐标为P．

（1）设平面APC的法向量为n=（x，y，z），
由即∴n=．
取z=-1，则有n=，方向指向平面APC的左下方，又，．
设直线A₁P与平面APC所成角为α，则．
（2），设A₁到平面PAC的距离为d，则．
点评：本题主要考查了直线与平面之间所成角、点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、利用空间向量的运算能力，属于中档题．