Question

16．设[x]表示不大于x的最大整数，集合A={x|x²-2[x]=3}，B={x|$\frac{1}{8}$＜2^x＜8}，则A∩B={-1，$\sqrt{7}$}．

Answer 1

分析 利用题中的新定义求出集合A中的方程，确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的交集即可．

解答 解：由集合A中的等式x²-2[x]=3变形得：x²=2[x]+3，由题意可知x²为整数，
而x²-2x-3=0的解为：x=-1或3，则[-1]=-1，[3]=3，
所以x²=2[x]+3=-2+3=1或x²=2×3+1=7，解得x=±1或x=±$\sqrt{7}$，
经检验：x=1，x=-$\sqrt{7}$不合题意舍去，所以x=-1或$\sqrt{7}$，
∴集合A={-1，$\sqrt{7}$}，
由B中不等式变形得：2^-3＜2^x＜2³，即-3＜x＜3，
∴B={x|-3＜x＜3}，
则A∩B={-1，$\sqrt{7}$}，
故答案为：{-1，$\sqrt{7}$}

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．