Question

已知双曲线 2x²-2y²=1的两个焦点为F₁，F₂，P为动点，若|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）求cos∠F₁PF₂的最小值；
（Ⅲ）设点M（-2，0），过点N（，0）作直线l交轨迹E于A、B两点，判断∠AMB的大小是否为定值？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意双曲线方程可化为，|F₁F₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2，知点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，由2a=4，2c=2得a=2，c=1，知所求动点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，则由m+n=4，|F₁F₂|=2可知在△F₁PF₂中，，故mn≤4，由此知∠F₁PF₂的最小值为．
（Ⅲ）当l与x轴重合时，构不成角AMB，不合题意．当l⊥x轴时，直线l的方程为，代入解得A．B的坐标分别为，，而，故∠AMB=90°，猜测∠AMB=90°为定值，再由韦达定理进行证明．
解答：解：（Ⅰ）依题意双曲线方程可化为，则|F₁F₂|=2，∴|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2
可知点P的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆，其方程可设为
由2a=4，2c=2得a=2，c=1∴b²=4-1=3则所求椭圆方程为，
故动点P的轨迹E的方程为；（3分）
（Ⅱ）设|PF₁|=m＞0，|PF₂|=n＞0，∠F₁PF₂=θ，则由m+n=4，|F₁F₂|=2可知
在△F₁PF₂中
又∵∴mn≤4，即∴
当且仅当m=n=2时等号成立．故cos∠F₁PF₂的最小值为（6分）
（Ⅲ）当l与x轴重合时，构不成角AMB，不合题意．
当l⊥x轴时，直线l的方程为，代入解得A．B的坐标分别为，，而，∴∠AMB=90°，
猜测∠AMB=90°为定值．（8分）
证明：设直线l的方程为，由，
得
∴，（10分）
∴=====0
∴∠AMB=90°为定值．（AB与点M不重合）（14分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．