题目内容

2008年金融风暴横扫全球．为抗击金融风暴，市工贸系统决定对所属企业给予低息贷款的扶持．该系统先根据相关评分标准对各个企业进行了评估，并依据评估得分将这些企业分别评定为优秀、良好、合格、不合格4个等级，然后根据评估等级分配相应的低息贷款金额，其评估标准和贷款金额如下表：
评估得分 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90]
评定类型不合格合格良好优秀
贷款金额（万元） 0[ 200 400 800
为了更好地掌控贷款总额，该系统随机抽查了所属部分企业的评估分数，得其频率分布直方图如下：
（Ⅰ）估计该系统所属企业评估得分的中位数；
（Ⅱ）该系统要求各企业对照评分标准进行整改，若整改后优秀企业数量不变，不合格企业、合格企业、良好企业的数量依次成等差数列，系统所属企业获得贷款的均值（即数学期望）不低于410万元，那么整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是多少？

解：（Ⅰ）因为0.015×10=0.15，0.04×10=0.4，
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，
所以中位数在区间[60，70）内，…（3分）
设中位数为x，则 $\text{[math]}$ ，解得x=8.75…（4分）
估计该系统所属企业评估得分的中位数是68.75．…（5分）
（Ⅱ）据题意，整改后优秀企业的频率为10×0.025=0.25，
不合格企业，良好企业的频率成等差数列．…（6分）
设该等差数列的首项为a，公差为d，
则3a+3d=1-0.25=0.75，即a+d=0.25，…（8分）
设该系统所属企业获得贷款的均值为Eξ，则
Eξ=a×0+（a+d）×200+（a+2d）×400+0.25×800
=0.25×200+（0.25+d）×400+0.25×800
=400d+350
=450-400a．
∵Eξ≥410，
∴450-400a≥410，
∴a≤0.1．…（11分）
故整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值是10%．…（12分）
分析：（Ⅰ）因为0.015×10=0.15，0.04×10=0.4，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的面积相等，所以中位数在区间[60，70）内．由此能估计该系统所属企业评估得分的中位数．
（Ⅱ）整改后优秀企业的频率为0.25，由不合格企业，良好企业的频率成等差数列．设该等差数列的首项为a，公差为d，则3a+3d=1-0.25=0.75，即a+d=0.25，由此能求出整改后不合格企业占企业总数的百分比的最大值．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的应用，具体涉及到中位数、等差数列、数学期望等知识点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．