Question

集合A是函数h（x）=lg（x+1）+

3-x

的定义域，B={x|（x+3m）（x-2）＜0，
（Ⅰ）函数f（x）=2x²-x-3，x∈A，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的定义域，然后求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）利用条件B⊆A，求实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）要使函数h（x）有意义，
则

x+1＞0 3-x≥0

，即

x＞-1 x≤3

，
∴-1＜x≤3，即A=（-1，3]，
函数f（x）=2x²-x-3=2(x-

1

4

)2-

25

8

，
∵-1＜x≤3，
∴-

25

8

≤f(x)≤12，即函数的值域是[-

25

8

，12]．
（Ⅱ）∵B={x|（x+3m）（x-2）＜0，
∴分三两种情况讨论
①当-3m＞2时，B=（2，-3m），
∵B⊆A，∴

-3m＞2 -3m≤3

，
∴-1≤m＜-

2

3

．
②当-3m=2时，即m=-

2

3

时，B=∅，满足B⊆A，符合题意
③当-3m＜2时，B=（-3m，2），
∵B⊆A，∴

-3m＜2 -3m≥-1

，
∴-

2

3

＜m≤

1

3

，
综上可知实数m的取值范围是[-1，

1

3

]．

点评：本题主要考查函数的定义域和值域的求法，以及集合关系的应用，考查学生的综合应用能力．