Question

已知函数f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x）其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）-g（x）
（1）求函数h（x）的定义域，判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若f（3）=2，求使h（x）＜0成立的x的集合；
（3）若x∈[0，

1

2

]时，函数h（x）的值域是[0，1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的真数大于0，可求出函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义进行判定即可；
（2）根据f（3）=2求出a的值，然后解不等式h（x）＜0即可求出所求；
（3）研究内函数的单调性，结合讨论外函数的单调性从而求出函数值域，根据函数h（x）的值域是[0，1]，可求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），
有1+x＞0且1-x＞0；解可得-1＜x＜1；
定义域为（-1，1）…（2分）
又∵h(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-h(x)
∴函数h（x）为奇函数                    …（4分）
（2）∵f（3）=2，解得a=2 
∵h（x）＜0
∴1+x＜1-x⇒x＜0
又x∈（-1，1），∴x∈（-1，0）…（8分）
（3）h(x)=loga

1+x

1-x

=loga(-1-

2

x-1

)
令?(x)=-1-

2

x-1

，
可知?(x)=-1-

2

x-1

在[0，

1

2

]上单调递增，
因此当a＞1时，h（x）在[0，

1

2

]上单调递增
又h(0)=0，由h(

1

2

)=1，得a=3；       …（10分）
当0＜a＜1时，h（x）在[0，

1

2

]上单调递减，
由x∈[0，

1

2

]时，函数h（x）的值域是[0，1]，
可得h（0）=1与h（0）=0矛盾，所以a∈∅
综上：a=3…（12分）

点评：本题主要考查了对数函数的定义域，以及函数的奇偶性和单调性与值域，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．