Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函数y=x+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

anan+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜

m

16

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据点(n，

Sn

n

)(n∈N*)均在函数y=x+1的图象上，所以把点的坐标代入到函数解析式中，化简得到S_n的关系式，然后利用a_n=S_n-S_n-1即可求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）裂项求和，再求使得Tn＜

m

16

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答：解：（Ⅰ）依题意得，

Sn

n

=n+1，
即Sn=n2+n．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n；
当n=1时，a₁=S₁=2
所以an=2n(n∈N*)
（Ⅱ）由（I）得bn=

1

anan+1

=

1

2n•[2(n+1)]

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
故Tn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

(n+1)

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)
因此，使得

1

4

(1-

1

n+1

)＜

m

16

(n∈N*)成立的m必须满足

1

4

≤

m

16

，
即m≥4，
故满足要求的最小整数m为4．

点评：本题以函数为载体，考查数列的通项，考查恒成立问题，解题的关键是运用a_n=S_n-S_n-1，求出等差数列的通项公式，运用裂项法求数列的和．