Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-2bx在x=-

1

3

处有极大值

5

27

，试确定a、b的值，并求出f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：根据题意可分析出f（-

1

3

）=

5

27

，f′(-

1

3

)=0即可求出a，b然后将a，b的值代入f（x）=x³-3ax²-2bx中求出f^′（x）而函数的定义域为R则只需分别令f^′（x）≥0，f^′（x）≤0所得出的x的值所构成的集合即分别为f（x）的单调递增单调递减区间．

解答：解：∵函数f（x）=x³-3ax²-2bx在x=-

1

3

处有极大值

5

27

且f^′（x）=3x²-6ax-2b
∴f（-

1

3

）=

5

27

，f′(-

1

3

)=0
∴-

1

27

-

1

3

a+

2

3

b=

5

27

①
   

1

3

+2a-2b=0②
由①②可得a=

1

3

，b=

1

2

∴f^′（x）=3x²-2x-1
∴令f^′（x）≥0则x≤-

1

3

或x≥1
令f^′（x）≤0则-

1

3

＜x＜1
即f（x）在（-∞，-

1

3

]，[1，+∞）为增函数，在（-

1

3

，1）上为减函数．

点评：本题主要考查了函数在某点处取得极值的条件和利用导数求函数的单调区间．解题的关键是要根据函数f（x）=x³-3ax²-2bx在x=-

1

3

处有极大值

5

27

分析出f（-

1

3

）=

5

27

，f′(-

1

3

)=0！