Question

如图所示，B点坐标为（-c，0），C点坐标为（c，0），AH⊥BC，垂足为H，且

.

BH

=3

.

HC

．
（1）若

AB

?

AC

=0，求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率；
（2）

AD

=λ

DB

，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，当-5≤λ≤

7

2

时，求椭圆的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意算出H(

c

2

，0)，可设A（

c

2

，y₀），得到向量

AB

、

AC

关于c、y₀的坐标，由

AB

?

AC

=0列式化简得到

y

2 0

=

3

4

c2，由两点间的距离公式算出|AB|、|AC|关于c的式子，从而算出|AB|+|AC|=（

3

+1）c，由此利用椭圆离心率的公式，即可算出该椭圆的离心率；
（2）设D（x₁，y₁），根据向量的坐标运算公式算出x1=

c 2 -cλ

1+λ

，y1=

y0

1+λ

．将A、D两点的坐标代入椭圆方程，组成方程组并消去

y

2 0

得e2=

λ+2

λ-1

，根据-5≤λ≤

7

2

算出e2∈[

1

3

，

1

2

]，从而解出

3

3

≤e≤

2

2

．

解答：解：（1）∵B（-c，0），C（c，0），
∴由

BH

=3

HC

，解出H(

c

2

，0)，
∵AH⊥BC，可设A（

c

2

，y₀），得

AB

=(-c-

c

2

，-y0)，

AC

=(c-

c

2

，-y0)
∴由

AB

?

AC

=0，得(-c-

c

2

)(c-

c

2

)+y02=0，化简得

y

2 0

=

3

4

c2，
∴|AB|=

(-c- c 2 )2+ 3 4 c2

=

3

c，|AC|=

( C 2 )2+ 3 4 c2

=c，
∴以B、C为焦点椭圆的长轴2a=|AB|+|AC|=(

3

+1)c，
可得e=

c

a

=

2

3 +1

=

3

-1．
（2）设D（x₁，y₁），
∵

AD

=λ

DB

，A（

c

2

，y₀），B（-c，0），∴x1=

c 2 -cλ

1+λ

，y1=

y0

1+λ

，
将A(

c

2

，y0)，D(

c 2 -cλ

1+λ

，

y0

1+λ

)代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，
可得

( c 2 )2 a2 + y 2 0 b2 =1 ( c 2 -cλ 1+λ )2 a2 + ( y0 1+λ )2 b2 =1

，消去

y

2 0

得e2=

λ+2

λ-1

，
∵-5≤λ≤-

7

2

，可得

1

3

≤

λ+2

λ-1

≤

1

2

，
∴e2∈[

1

3

，

1

2

]，解之得

3

3

≤e≤

2

2

．

点评：本题给出三角形满足的几何关系和向量等式，求椭圆的离心率取值范围．着重考查了向量的坐标运算、向量的数量积和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．