Question

（2012•湖南）函数f（x）=sin （ωx+φ）的导函数y=f′（x）的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
（1）若φ=

π

6

，点P的坐标为（0，

3 3

2

），则ω=

3

；
（2）若在曲线段

ABC

与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为

π

4

．

Answer 1

分析：（1）先利用导数的运算性质，求函数f（x）的导函数f′（x），再将φ=

π

6

，f′（0）=

3 3

2

代入导函数解析式，即可解得ω的值；
（2）先利用定积分的几何意义，求曲线段

ABC

与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率

解答：解：（1）∵函数f（x）=sin （ωx+φ）的导函数y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中φ=

π

6

，过点P（0，

3 3

2

），
∴ωcos

π

6

=

3 3

2

∴ω=3
故答案为 3
（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），
∴曲线段

ABC

与x轴所围成的区域面积为

∫	3π 2 -φ ω π 2 -φ ω

[-f′（x）]dx=-f（x）

|	3π 2 -φ ω π 2 -φ ω

=-sin

3π

2

-（-sin

π

2

）=2
三角形ABC的面积为

ω× π ω

2

=

π

2

∴在曲线段

ABC

与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为P=

π 2

2

=

π

4

故答案为

π

4

点评：本题主要考查了f（x）=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属基础题