Question

【题目】已知函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于的不等式在[1，＋∞）上恒成立，求实数的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；

（2）令h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e，求出函数的导数，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．

（1）依题意，，

当a≤0时，1﹣2ax＞0，故f（x）＞0；

当a>0时，x=，故当时，f（x）＞0，当时，f'（x）＜0；

综上：当a≤0时，函数f（x）在(0，+∞）上单调递增；

当a>0时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减；

（2）由题意得，当x≥1时，lnx+ex﹣2ax+2a﹣e≥0恒成立；

令h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e，

求导得，

设，则，

因为x≥1，所以，所以（x）＞0，

所以φ（x）在[1，+∞）上单调递增，即h'（x）在[1，+∞）上单调递增，

所以h（x）≥h（1）＝1+e﹣2a；

①当时，h（x）≥0，此时，h（x）＝lnx+ex﹣2ax+2a﹣e在[1，+∞）上单调递增，

而h（1）＝0，所以h（x）≥0恒成立，满足题意；

②当时，h（1）＝1+e﹣2a＜0，

而；

根据零点存在性定理可知，存在x0∈（1，ln2a），使得h（x0）＝0．

当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，h（x）单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，h（x）单调递增．

所以有h（x0）＜h（1）＝0，这与h（x）≥0恒成立矛盾，舍去；

综上所述，实数a的取值范围为．