Question

【题目】已知函数

（1）试讨论在极值点的个数；

（2）若函数的两个极值点为，且，为的导函数，设，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）对函数求导，讨论导函数的正负，即可得到函数的单调性，从而可求出极值的个数；（2）先求出函数的表达式，进而可得到极值点的关系，可用来表示及，代入的表达式，然后构造函数关于的函数，求出值域即可.

解：（1）易知定义域为，.

①当时，恒成立，在为增函数，没有极值点；

②当时，恒成立，在为增函数，没有极值点；

③当时，，

由，令得，令得，

则在上单调递减，在单调递增，故只有一个极大值点，没有极小值点；

④当时，由，令得，令得,

则在上单调递增，在单调递减，故只有一个极小值点，没有极大值点.

（2）由条件得且有两个根，满足，

或，

因为，所以，故符合题意.

因为函数的对称轴，，所以.

，

则，

因为，所以，

，

，

令，则，

显然在上单调递减，在单调递增，

，

，

则.

故的取值范围是.