Question

19．求曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2{e}^{t}}\\{y={e}^{-t}}\end{array}\right.$在t=0相应的点处的切线方程和法线方程．

Answer 1

分析 化为y=$\frac{2}{x}$，求出函数的导数，求得切线的斜率和法线的斜率，再由点斜式方程，可得切线或法线方程．

解答 解：当t=0时，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即点的坐标为（2，1）
曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=2{e}^{t}}\\{y={e}^{-t}}\end{array}\right.$消t得到，y=$\frac{2}{x}$，
∴y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
在点（2，1）处的切线斜率为k=-$\frac{1}{2}$，
即有在点（2，1）处的切线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），
即为x+2y-4=0；
在点（2，1）处的法线斜率为k=2，
即有在点（2，1）处的法线方程为y-1=2（x-2），
即为2x-y-3=0．

点评 本题参数方程化为直角坐标方程，导数的运用，求切线的斜率，考查直线方程的求法和法线方程的求法，属于中档题．