Question

（一、二级达标校做）
如图，在梯形ADBC中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，PA=

2

．
（Ⅰ） 证明：平面PAC⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB；
（Ⅲ）求四面体A-FCD的体积．

Answer 1

（I）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴PA⊥CD
又CD⊥PC，PA∩PC=P．
∴CD⊥平面PAC
∵CD?平面PCD
∴平面PAC⊥平面PCD．
（Ⅱ）∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，
∴∠BAC=45°，∠CAD=45°，AC=

2

∵CD⊥平面PAC，CA?平面PAC
∴CD⊥CA，
∴Rt△ACD中，AD=

2

AC=2


又∵E为AD的中点，
∴四边形ABCE是正方形，
∴CE∥AB
∵CE?平面PAB，AB?平面PAB
∴CE∥平面PAB．
（Ⅲ）设PC的中点为F，连AF．
在Rt△PAC中，PA=

2

，AC=

2

，PC=2，
∴AF⊥PC，且AF=1，
由（Ⅰ）知：平面PAC⊥平面PCD，
∵平面PAC∩平面PCD=PC
∴AF⊥平面PCD，
在Rt△PCD中，CD=

2

，PC=2，
∴S_△PCD=

1

2

CD•PC=

2

，
∴V_A-PCD=

1

3

S_△PCD•AF=

1

3

•

2

•1=

2

3